Was (wer) ist Достаточная статистика - definition

Достаточная статистика для параметра ${\displaystyle \theta \in \Theta ,\;}$ определяющая некоторое семейство ${\displaystyle F_{\theta }}$ распределений вероятности — статистика ${\displaystyle T=\mathrm {T} (X)\;}$ такая, что условная вероятность выборки ${\displaystyle X=X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\;}$ при данном значении ${\displaystyle \mathrm {T} (X)\;}$ не зависит от параметра ${\displaystyle \theta \;.}$ То есть выполняется равенство:

${\displaystyle \mathbb {P} (X\in {\bar {X}}|\mathrm {T} (X)=t,\theta )=\mathbb {P} (X\in {\bar {X}}|\mathrm {T} (X)=t),}$

Достаточная статистика ${\displaystyle \mathrm {T} (X),\;}$ таким образом, содержит в себе всю информацию о параметре ${\displaystyle \theta \;}$, которая может быть получена на основе выборки X. Поэтому понятие достаточной статистики широко используется в теории оценки параметров.

Наиболее простой достаточной статистикой является сама выборка ${\displaystyle \mathrm {T} (X)=X\;}$, однако действительно важными являются случаи, когда размерность достаточной статистики значительно меньше размерности выборки, в частности, когда достаточная статистика выражается лишь несколькими числами.

Достаточная статистика ${\displaystyle S=\mathrm {S} (X)\;}$ называется минимально достаточной, если для каждой достаточной статистики T существует неслучайная измеримая функция g, что ${\displaystyle S(X)=g(T(X))}$ почти всюду.